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選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

1 -1

2 4

，設(shè)向量

β

=

7 4

，試計算A5

β

的值．

某民營企業(yè)從事M國某品牌運動鞋的加工業(yè)務(wù)，按照國際慣例以美元結(jié)算．依據(jù)以往的加工生產(chǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，若加工訂單的金額為x萬美元，可獲得的加工費的近似值為

1

2

ln(2x+1)萬美元．2011年以來，受美聯(lián)儲貨幣政策的影響，美元持續(xù)貶值．由于從生產(chǎn)訂單簽約到成品交付要經(jīng)歷一段時間，收益將因美元貶值而損失mx美元（其中m是該時段的美元貶值指數(shù)，且0＜m＜1），從而實際所得的加工費為f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx萬美元．
（1）若某時段的美元貶值指數(shù)m=

1

200

，為了確保企業(yè)實際所得加工費隨x的增加而增加，該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額x應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)？
（2）若該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬美元時共需要的生產(chǎn)成本為

1

20

x萬美元．已知該企業(yè)的生產(chǎn)能力為x∈[10，20]，試問美元貶值指數(shù)m在何范圍內(nèi)時，該企業(yè)加工生產(chǎn)不會出現(xiàn)虧損？（已知(ln(2x+1))′=

2

2x+1

）．

已知銳角△ABC中的三個內(nèi)角分別為A，B，C．
（1）設(shè)

BC

•

CA

=

CA

•

AB

，求證△ABC是等腰三角形；
（2）設(shè)向量

s

=(2sinC，-

3

)，

t

=(cos2C，2cos2

C

2

-1)，且

s

∥

t

，若sinA=

12

13

，求sin(

π

3

-B)的值．

在△ABC中，已知內(nèi)角A=

π

3

，邊BC=2

3

，則△ABC的面積S的最大值為．

已知函數(shù)f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函數(shù)，函數(shù)g(x)=|ex-a|+

a2

2

．當(dāng)x∈[0，ln3]時，函數(shù)g（x）的最大值M與最小值m的差為

3

2

，則a=．

某地區(qū)有3個工廠，由于用電緊缺，規(guī)定每個工廠在一周內(nèi)必須選擇某一天停電（選擇哪一天是等可能的），假定各個工廠的選擇互不影響，則這3個工廠選擇同一天停電的概率為．

在邊長為1的正方形ABCD中，設(shè)

AB

=

a

，

BC

=

b

，

AC

=

c

，則|

b

-

a

-

c

|=．

設(shè)拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，A（x₀，y₀）（x₀≠0）是拋物線C上的一定點．
（1）已知直線l過拋物線C的焦點F，且與C的對稱軸垂直，l與C交于Q，R兩點，S為C的準(zhǔn)線上一點，若△QRS的面積為4，求p的值；
（2）過點A作傾斜角互補的兩條直線AM，AN，與拋物線C的交點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．若直線AM，AN的斜率都存在，證明：直線MN的斜率等于拋物線C在點A關(guān)于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率．