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（2013•汕頭一模）如圖．已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸為AB，過點(diǎn)B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率e=

3

2

，F(xiàn)₁為橢圓的左焦點(diǎn)且

AF1

•

F1B

=1．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ．連接AQ并延長交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

（2013•昌平區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2-alnx(a＞0)．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（III）若f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

（2013•昌平區(qū)二模）某市為了提升市民素質(zhì)和城市文明程度，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有大的提速，對市民進(jìn)行了“生活滿意”度的調(diào)查．現(xiàn)隨機(jī)抽取40位市民，對他們的生活滿意指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下分布表：

滿意級別	非常滿意	滿意	一般	不滿意
滿意指數(shù)（分）	90	60	30	0
人數(shù)（個(gè)）	15	17	6	2

（I）求這40位市民滿意指數(shù)的平均值；
（II）以這40人為樣本的滿意指數(shù)來估計(jì)全市市民的總體滿意指數(shù)，若從全市市民（人數(shù)很多）中任選3人，記ξ表示抽到滿意級別為“非常滿意或滿意”的市民人數(shù)．求ξ的分布列；
（III）從這40位市民中，先隨機(jī)選一個(gè)人，記他的滿意指數(shù)為m，然后再隨機(jī)選另一個(gè)人，記他的滿意指數(shù)為n，求n≥m+60的概率．

（2013•昌平區(qū)二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求證：面PAB⊥平面PDC；
（Ⅲ） 在線段AB上是否存在點(diǎn)G，使得二面角C-PD-G的余弦值為

1

3

？說明理由．

（2013•昌平區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=sin（π-2x）+2

3

cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求f（

π

6

）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

（2013•昌平區(qū)二模）曲線C是平面內(nèi)到直線l₁：x=-1和直線l₂：y=1的距離之積等于常數(shù)k²（k＞0）的點(diǎn)的軌跡．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①曲線C過點(diǎn)（-1，1）；
②曲線C關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對稱；
③若點(diǎn)P在曲線C上，點(diǎn)A，B分別在直線l₁，l₂上，則|PA|+|PB|不小于2k；
④設(shè)p₁為曲線C上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P₁關(guān)于直線x=-1、點(diǎn)（-1，1）及直線y=1對稱的點(diǎn)分別為P₁、P₂、P₃，則四邊形P₀P₁P₂P₃的面積為定值4k²．
其中，所有正確結(jié)論的序號是．

（2013•昌平區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=

1+ 4 x ， (x≥4) log2x， (0＜x＜4)

，若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．

（2013•昌平區(qū)二模）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，
若①是i＜6時(shí)，輸出的S值為；
若①是i＜2013時(shí)，輸出的S值為．