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19．如圖，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過點P（0，1）的動直線l與橢圓相交于A、B兩點，當(dāng)直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得$\frac{|QA|}{|QB|}=\frac{|PA|}{|PB|}$恒成立？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

18．如圖，A、B、C、D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角．
（Ⅰ）證明：tan$\frac{A}{2}$=$\frac{1-cosA}{sinA}$；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{C}{2}$+tan$\frac{D}{2}$的值．

17．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示．在正方體中，設(shè)BC的中點為M、GH的中點為N．
（Ⅰ）請將字母F、G、H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點處（不需說明理由）；
（Ⅱ）證明：直線MN∥平面BDH；
（Ⅲ）求二面角A-EG-M的余弦值．

16．某市A、B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊．
（Ⅰ）求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；
（Ⅱ）某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

15．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x²-x），其中a∈R，
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點的個數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

14．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，以F₁為圓心以3為半徑的圓與以F₂為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4^{2}}$=1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q．
（i）求|$\frac{OQ}{OP}$|的值；
（ii）求△ABQ面積的最大值．

13．若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）．在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；
（Ⅱ）若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知2S_n=3ⁿ+3．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}，滿足a_nb_n=log₃a_n，求{b_n}的前n項和T_n．

11．如圖，在三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點．
（Ⅰ）求證：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH與平面ACFD所成的角（銳角）的大�。�

10．設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（a，0），點B的坐標(biāo)為（0，b），點M在線段AB上，滿足|BM|=2|MA|，直線OM的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{10}$
（Ⅰ）求E的離心率e；
（Ⅱ）設(shè)點C的坐標(biāo)為（0，-b），N為線段AC的中點，點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標(biāo)為$\frac{7}{2}$，求E的方程．