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（本小題滿分16分）已知為實數(shù)，函數(shù)，函數(shù)．

（1）當時，令，求函數(shù)的極值；

（2）當時，令，是否存在實數(shù)，使得對于函數(shù)定義域中的任意實數(shù)，均存在實數(shù)，有成立，若存在，求出實數(shù)的取值集合；若不存在，請說明理由．

選修4—1：幾何證明選講

已知AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點，PC是的平分線，是下半圓的中點.求證：直線PC經(jīng)過點.

選修4—2：矩陣與變換

已知矩陣滿足：，其中是互不相等的實常數(shù)，，是非零的平面列向量，，，求矩陣.

選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

已知兩個動點，分別在兩條直線和上運動，且它們的橫坐標分別為角的正弦，余弦，.記，求動點的軌跡的普通方程.

選修4—5：不等式選講

已知，證明：.

(本小題滿分10分)一位網(wǎng)民在網(wǎng)上光顧某淘寶小店，經(jīng)過一番瀏覽后，對該店鋪中的五種商品有購買意向.已知該網(wǎng)民購買兩種商品的概率均為，購買兩種商品的概率均為，購買種商品的概率為.假設(shè)該網(wǎng)民是否購買這五種商品相互獨立.

（1）求該網(wǎng)民至少購買4種商品的概率；

（2）用隨機變量表示該網(wǎng)民購買商品的種數(shù)，求的概率分布和數(shù)學期望.

（本小題滿分10分）設(shè)個正數(shù)滿足（且）．

（1）當時，證明：；

（2）當時，不等式也成立，請你將其推廣到（且）個正數(shù)的情形，歸納出一般性的結(jié)論并用數(shù)學歸納法證明．

設(shè)集合，，則= ．

設(shè)復數(shù)（，i為虛數(shù)單位），若，則的值為 ．

已知雙曲線的離心率為，則實數(shù)a的值為 ．