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不等式的解集為______.

設(shè)，是虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則      .

設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若方程在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，．

已知橢圓的短半軸長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在直線（為半焦距）上．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）求以為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程；

（Ⅲ）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線與以為直徑的圓交于點(diǎn)，

求證：線段的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

一個(gè)口袋中有個(gè)白球和個(gè)紅球（，且），每次從袋中摸出兩個(gè)球（每次摸球后把這兩個(gè)球放回袋中），若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng)，否則為不中獎(jiǎng)．

(Ⅰ)試用含的代數(shù)式表示一次摸球中獎(jiǎng)的概率；

(Ⅱ)若，求三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率；

(Ⅲ)記三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率為，當(dāng)為何值時(shí)，取最大值.

如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求銳二面角的余弦值.

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中是不為零的常數(shù)．

（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅱ）在中，分別是角的對(duì)邊，且，求的面積.

如圖，切圓于點(diǎn)，割線經(jīng)過圓心，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，則的長(zhǎng)為          .

己知，若恒成立，利用柯西不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍是          .