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如圖，在△ABC中，∠C=45°，D為BC中點，BC=2．記銳角∠ADB=α．且滿足cosα=-

7

25

．
（1）求cos∠CAD；
（2）求BC邊上高的值．

若復數(shù)z₁=a+i，z₂=1-i（i為虛數(shù)單位），且z₁•z₂為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為．

圓心在原點上與直線x+y-2=0相切的圓的方程為．

在△ABC中，角A，B，C對應邊分別是a，b，c，c=2，sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB．
（1）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC面積；
（2）求AB邊上的中線長的取值范圍．

某工廠某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為1000x件，其中x∈[20，100]，需要投入的成本為C（x），當x∈[20，80]時，C（x）=

1

2

x²-30x+500（萬元）；當x∈（80，100]時，C（x）=

20000

x

（萬元）．若每一件商品售價為

lnx

x

（萬元），通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

已知點P（1+cosα，1-sinα），參數(shù)α∈R，點Q在曲線C：ρ=

6

2 sin(θ+ π 4 )

上．
（1）求點P的軌跡方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）求點P與點Q之間距離的最大值．

已知角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓O交于點A（x₁，y₁），將射線OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

2π

3

后與單位圓O交于點B（x₂，y₂），f（α）=x₁-x₂；
（Ⅰ）若角α為銳角，求f（α）的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f（A）=

3

2

，c=3，△ABC的面積為3

3

，求a的值．

空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）是衡量空氣質(zhì)量好壞的標準，表是我國南方某市氣象環(huán)保部門從去年的每天空氣質(zhì)量檢測數(shù)據(jù)中，隨機抽取的40天的統(tǒng)計結(jié)果：

空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）	國家環(huán)保標準	頻數(shù)（天）	頻率
[0，50]	一級（優(yōu)）	4
（50，100]	二級（良）	20
（100，150]	三級（輕度污染）	8
（150，200]	四級（中度污染）	4
（200，300]	五級（重度污染）	3
（300，+∞）	六級（嚴重污染）	1

（1）若以這40天的統(tǒng)計數(shù)據(jù)來估計，一年中（365天）該市有多天的空氣質(zhì)量達到優(yōu)良？
（2）若將頻率視為概率，某中學擬在今年五月份某三天召開運動會，以上表的數(shù)據(jù)為依據(jù)，問：
①這三天空氣質(zhì)量都達標（空氣質(zhì)量屬一、二、三級內(nèi)）的概率；
②這三天恰好有一天空氣質(zhì)量不達標（指四、五、六級）的概率．

已知函數(shù)f（x）=

2x

x+1

，數(shù)列{a_n}的首項a₁=

2

3

，且滿足a_n+1=f（a_n），（n∈N^*）
（Ⅰ）令b_n=

1

an

-1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）令c_n=

n

an

，求數(shù)列{c_n}前n項和S_n．

一盒中裝有大小質(zhì)地相同的小球，其中紅球4個，白球、黑球各3個，
（Ⅰ）從中任取兩球，求取得的兩球顏色不同的概率；
（Ⅱ）將紅球標上0，1，2，3；白球、黑球分別標上0，1，2；現(xiàn)從盒中任意取出兩個小球．記所取出的兩球標號之積為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學期望．