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設(shè)C₁，C₂，…，C_n，…是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線y=x相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，圓C_n都與圓C_n+1相互外切，以r_n表示C_n的半徑，已知{r_n}為遞增數(shù)列。
（Ⅰ）證明：{r_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)r₁=1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

如果有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m為正整數(shù)）滿足條件a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁，即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列”。
例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，2，4，8都是“對(duì)稱數(shù)列”。 
（1）設(shè){b_n}是7項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中b₁，b₂，b₃，b₄是等差數(shù)列，且b₁=2，b₄=11，依次寫出{b_n}的每一項(xiàng)；
（2）設(shè){c_n}是49項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中c₂₅，c₂₆，…，c₄₉是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求{c_n}各項(xiàng)的和S；
（3）設(shè){a_n}是100項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，求{d_n}前n項(xiàng)的和S_n（n=1，2，…，100）。

若對(duì)任意的自然數(shù)n，，則n=（    ）。

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N*，都有，且1＜S_k＜9，則a₁的值為（    ），k的值為（    ）。

已知{a_n}是等差數(shù)列，公差d＞0，a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n=1-b_n（n∈N*）。
(1)求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
(2)記c=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n。

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1-2a_n=0，數(shù)列{b_n}中，b_n·a_n=（-1）ⁿ（n∈N*）。
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)的和。

等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}為等比數(shù)列，b₁=2，且b₂S₂=32，b₃S₃=120。 （1）求a_n與b_n；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若對(duì)任意正整數(shù)n和任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

若數(shù)列{a_n}對(duì)于任意的正整數(shù)n滿足：a_n＞0且a_na_n+1=n+1，則稱數(shù)列{a_n}為“積增數(shù)列”。已知“積增數(shù)列”{a_n}中，a₁=1，數(shù)列{a_n²+a_n+1²}的前n項(xiàng)和為S_n，則對(duì)于任意的正整數(shù)n，有

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=a（a＞0），數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1（n∈N*）。
（Ⅰ）若{a_n}是等差數(shù)列，且b₃=12，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若{a_n}是等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）若{b_n}是公比為a-1的等比數(shù)列時(shí)，{a_n}能否為等比數(shù)列？若能，求出a的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的n∈N*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m為常數(shù)，且m＞0）。
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比q=f（m），數(shù)列{b_n}滿足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n。