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已知f（x）=（

x

+

2

）²（x≥0），又?jǐn)?shù)列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式S_n（n∈N^*）對(duì)所有大于1的自然數(shù)n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=

an+12+an2

2an+1an

（n∈N^*），求證

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A，若存在數(shù)列{a_n}和實(shí)數(shù)x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：A=

.

x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

．如：A=

.

2\～(-1)(3)(-2)(1)

，則表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0）），試將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式．
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，ak+1=

1

1-ak

，k∈N*，bn=

.

2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

（n∈N^*）．求證：bn=

2

7

•8n-

2

7

．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，dn=

.

t\～( C 1n )( C 2n )( C 3n )…( C n-1n )( C nn )

，求

lim

n→∞

dn

dn+1

．

已知向量

a

=(an，2)，

b

=(an+1，

2

5

)，n∈N+且a₁=1，若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且

a

∥

b

，則

lim

n→∞

Sn=（　�。�

A． 1 4

B． 4 5

C． 3 4

D． 5 4

無窮等比數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，并且

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）=

8

3

，則公比q=______．

已知：x∈N^*，y∈N^*，且 

1

x

+

n2

y

=1（n∈N^*）．
（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，求x+y的最小值及此時(shí)的x、y的值；
（Ⅱ）若n∈N^*，當(dāng)x+y取最小值時(shí)，記a_n=x，b_n=y，求a_n，b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，試求

lim

n→∞

Tn

n•Sn

的值．
注：12+22+32+…+n2=

1

6

n(n+1)(2n+1)．

已知公比為q（0＜q＜1）的無窮等比數(shù)列{a_n}各項(xiàng)的和為9，無窮等比數(shù)列{a_n²}各項(xiàng)的和為

81

5

．
（1）求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公比q；
（2）對(duì)給定的k（k=1，2，3，…，n），設(shè)T^（k）是首項(xiàng)為a_k，公差為2a_k-1的等差數(shù)列，求T^（2）的前2007項(xiàng)之和；
（3）（理）設(shè)b_i為數(shù)列T^（i）的第i項(xiàng)，S_n=b₁+b₂+…+b_n：
①求S_n的表達(dá)式，并求出S_n取最大值時(shí)n的值．
②求正整數(shù)m（m＞1），使得

lim

n→∞

Sn

nm

存在且不等于零．
（文）設(shè)b_i為數(shù)列T^（i）的第i項(xiàng)，S_n=b₁+b₂+…+b_n：求S_n的表達(dá)式，并求正整數(shù)m（m＞1），使得

lim

n→∞

Sn

nm

存在且不等于零．

各項(xiàng)均為正數(shù)且公差為1的等差數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n，則

lim

n→∞

Sn

an•an+1

=（　�。�

A．1

B． 1 2

C． 1 3

D． 1 4

若函數(shù)f（x）=log₂（x-1），a_n=f^-1（n），數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，則

lim

x→∞

Sn-n

an

等于（　�。�

A．0

B． 1 2

C．1

D．2