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已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為{S_n}，又有數(shù)列{b_n}滿足關(guān)系b₁=a₁，對(duì)n∈N^*，有a_n+S_n=n，b_n+1=a_n+1-a_n
（1）求證：{b_n}是等比數(shù)列，并寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在常數(shù)c，使得數(shù)列{S_n+cn+1}為等比數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）=x²+x及兩個(gè)正整數(shù)數(shù)列{a_n}，{b_n}若a₁=3，a_n+1=f'（a_n）對(duì)任意n∈N^*恒成立，且b₁=1，b₂=λ，且當(dāng)n≥2時(shí)，有

b

2n

-1＜bn+1bn-1＜

b

2n

+1；又?jǐn)?shù)列{c_n}滿足：2（λb_n+c_n-1）=2nλb_n+a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）證明存在k∈N^*，使得

Cn+1

cn

≤

Ck+1

ck

對(duì)任意n∈N^*均成立．

等比數(shù)列{a_n}中，a₄=4，則a₂•a₆等于______．

若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為a-

3

2

的無(wú)窮等比數(shù)列，且{a_n}各項(xiàng)的和為a，則a的值是（　�。�

A．1

B．2

C． 1 2

D． 5 4

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和胃S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若從數(shù)列{a_n}中依次取出第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、第8項(xiàng)，…，第2ⁿ項(xiàng)，…，按原來(lái)順序組成一個(gè)新數(shù)列{b_n}，記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n的表達(dá)式．

已知點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(

1

2

)x圖象上．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)a_n=n（n為正整數(shù)），過(guò)點(diǎn)P_n，P_n+1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為c_n，試求最小的實(shí)數(shù)t，使c_n≤t對(duì)一切正整數(shù)n恒成立；
（Ⅲ）對(duì)（Ⅱ）中的數(shù)列{a_n}，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入3^k-1個(gè)3，得到一個(gè)新的數(shù)列{d_n}，設(shè)S_n是數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和，試探究2008是否數(shù)列{S_n}中的某一項(xiàng)，寫(xiě)出你探究得到的結(jié)論并給出證明．

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，an+1=

(4n+6)an+4n+10

2n+1

(n∈N*)．
（Ⅰ）試判斷數(shù)列{

an+2

2n+1

}是否為等比數(shù)列？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是，試求出通項(xiàng)a_n．
（Ⅱ）如果a=1時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．試求出S_n，并證明

1

S3

+

1

S4

+…+

1

Sn

＜

1

10

（n≥3）．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，且a₁=1，na_n+1=（n+2）s_n （n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{

sn

n

}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和s_n；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=

1

2

，

bn+1

n+1

=

bn+sn

n

 （n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

等比數(shù)列{a_n}中a_n＞0，且a₅•a₆=9，則log₃a₂+log₃a₉=______；

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且an=

1

2

(3n+Sn)對(duì)一切正整數(shù)n恒成立．
（1）證明數(shù)列{a_n+3}為等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{a_n}是否存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．