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（本題滿分12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,且過,設(shè)點(diǎn).
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；

已知斜率為1的直線 過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，求長(zhǎng)

P為橢圓＋＝1上任意一點(diǎn)，F₁、F₂為左、右焦點(diǎn)，如圖所示．
(1)若PF₁的中點(diǎn)為M，求證：|MO|＝5－|PF₁|；
(2)若∠F₁PF₂＝60°，求|PF₁|·|PF₂|之值；
(3)橢圓上是否存在點(diǎn)P，使·＝0，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)， 若不存在，試說明理由

（本小題滿分14分）已知橢圓以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且該橢圓以拋物線的焦點(diǎn)為其一個(gè)焦點(diǎn)，以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)，且分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。

（本小題滿分14分）
已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。線段的中垂線分別與交于兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）斜率為的直線與曲線交于兩點(diǎn),若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），試求直線在軸上截距的取值范圍．

已知一隧道的截面是一個(gè)半橢圓面（如圖所示），要保證車輛正常通行，車頂離隧道頂部至少要有米的距離，現(xiàn)有一貨車，車寬米，車高米．
（１）若此隧道為單向通行，經(jīng)測(cè)量隧道的跨度是米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)隧道才能保證此貨車正常通行？
（２）圓可以看作是長(zhǎng)軸短軸相等的特殊橢圓，類比圓面積公式，
請(qǐng)你推測(cè)橢圓的面積公式．并問，當(dāng)隧道為雙向通行（車道間的距離忽略不記）時(shí)，要使此貨車安全通過，應(yīng)如何設(shè)計(jì)隧道，才會(huì)使同等隧道長(zhǎng)度下開鑿的土方量最��？

在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)形成軌跡．
（1）求軌跡的方程；
（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值

(本小題滿分14分)
已知:橢圓的左右焦點(diǎn)為;直線經(jīng)過交橢圓于兩點(diǎn).
(1)求證:的周長(zhǎng)為定值.
(2)求的面積的最大值?

.（本題滿分14分）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在X軸上，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)  在直線上。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求以線段OM為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線OM的垂線與以線段OM為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值。

（本題滿分14分）已知+=1的焦點(diǎn)F₁、F₂，在直線l：x+y－6=0上找一點(diǎn)M，求以F₁、F₂為焦點(diǎn)，通過點(diǎn)M且長(zhǎng)軸最短的橢圓方程．