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如圖，設Ｐ是圓上的動點，點Ｄ是Ｐ在軸上投影，Ｍ為PD上一點，且．

（1）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度．

過點作傾斜角為的直線與曲線C交于不同的兩點，求的取值范圍.

(2013·上海高考)如圖,已知雙曲線C₁：-y²=1,曲線C₂：|y|=|x|+1.P是平面內一點.若存在過點P的直線與C₁,C₂都有共同點,則稱P為“C₁-C₂型點”.

(1)在正確證明C₁的左焦點是“C₁-C₂型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證).
(2)設直線y=kx與C₂有公共點,求證|k|>1,進而證明原點不是“C₁-C₂型點”.
(3)求證：圓x²+y²=內的點都不是“C₁-C₂型點”.

(2014·武漢模擬)已知點P是圓M：x²+(y+m)²=8(m>0,m≠)上一動點,點N(0,m)是圓M所在平面內一定點,線段NP的垂直平分線l與直線MP相交于點Q.
(1)當P在圓M上運動時,記動點Q的軌跡為曲線Г,判斷曲線Г為何種曲線,并求出它的標準方程.
(2)過原點斜率為k的直線交曲線Г于A,B兩點,其中A在第一象限,且它在x軸上的射影為點C,直線BC交曲線Г于另一點D,記直線AD的斜率為k′,是否存在m,使得對任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.

在直角坐標系xOy中,已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標原點O,橢圓+=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程.
(2)試探究圓C上是否存在異于原點的點Q,使Q到橢圓的右焦點F的距離等于線段OF的長,若存在,請求出Q的坐標;若不存在,請說明理由.

在直角坐標平面上給定一曲線y²=2x,
(1)設點A的坐標為,求曲線上距點A最近的點P的坐標及相應的距離|PA|.
(2)設點A的坐標為(a,0),a∈R,求曲線上的點到點A距離的最小值d_min,并寫出d_min=f(a)的函數(shù)表達式.

已知橢圓C:的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線與橢圓C交于A、B兩點，以弦為直徑的圓過坐標原點，試探討點到直線的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

過拋物線的頂點作射線與拋物線交于，若，求證：直線過定點．

已知橢圓過點，且離心率.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知過點的直線與該橢圓相交于A、B兩點，試問：在直線上是否存在點P，使得是正三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

已知定點，過點F且與直線相切的動圓圓心為點M，記點M的軌跡為曲線E.
（1）求曲線E的方程；
（2）若點A的坐標為，與曲線E相交于B，C兩點，直線AB，AC分別交直線于點S，T.試判斷以線段ST為直徑的圓是否恒過兩個定點？若是，求這兩個定點的坐標；若不是，說明理由.