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已知函數(shù)．
（Ⅰ）若是上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：當a≥1時，證明不等式≤x+1對x∈R恒成立；
（Ⅲ）對于在(0，1)中的任一個常數(shù)a，試探究是否存在x₀>0，使得>x₀+1成立？如果存在，請求出符合條件的一個x₀；如果不存在，請說明理由．

已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若存在使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.

已知函數(shù).
（Ⅰ）設，求的最小值；
（Ⅱ）如何上下平移的圖象，使得的圖象有公共點且在公共點處切線相同.

設函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)單調遞增區(qū)間；
(Ⅱ)當時，求函數(shù)的最大值和最小值.

設函數(shù)；
(Ⅰ)求證：函數(shù)在上單調遞增；
(Ⅱ)設，若直線PQ∥x軸，求P,Q兩點間的最短距離.

定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：
①在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)；
②是偶函數(shù)；
③在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直．
(1)求函數(shù)＝的解析式；
(2)設g(x)＝，若存在實數(shù)x∈[1，e]，使<，求實數(shù)m的取值范圍.

已知函數(shù)，且是函數(shù)的一個極小值點.
（Ⅰ）求實數(shù)的值；
（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值.

已知函數(shù).
（1）當時，的圖象在點處的切線平行于直線，求的值；
（2）當時，在點處有極值，為坐標原點，若三點共線，求的值.

如圖，半徑為30的圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點在圓弧上，點在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設與矩形材料的邊的夾角為，圓柱的體積為.

（Ⅰ）求關于的函數(shù)關系式？
（Ⅱ）求圓柱形罐子體積的最大值.

已知函數(shù).
（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線平行，求實數(shù)的值；
（Ⅱ）若函數(shù)在處取得極小值，且，求實數(shù)的取值范圍.