Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA₁，E是BC的中點，
（Ⅰ）求證：AE⊥B₁C；
（Ⅱ）求異面直線AE與A₁C所成的角；
（Ⅲ）若G為C₁C的中點，求二面角C-AG-E的正切值。

Answer 1

解：（Ⅰ）因為BB₁⊥面ABC，AE面ABC，
所以AE⊥BB₁，
由AB=AC，E為BC的中點得到AE⊥BC，
∵BC∩BB₁=B，
∴AE⊥面BB₁C₁C，
∴AE⊥B₁C；
（Ⅱ）取B₁C₁的中點E₁，連接A₁E₁，E₁C，
則AE∥A₁E₁，
∴∠E₁A₁C是異面直線AE與A₁C所成的角，
設AC=AB=AA₁=2a，
則，，
∴，
∵在△A₁E₁C中，，
所以異面直線AE與A₁C所成的角為；
（Ⅲ）連接AG，設P是AC的中點，過點P作PQ⊥AG于Q，連接EP，EQ，
則EP⊥AC，
又∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，
∴EP⊥平面ACC₁A₁，而PQ⊥AG，
∴EQ⊥AG，
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角，
由EP=a，AP=a，，得，
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是。