Question

18．已知兩直線l₁：x-2y+4=0，l₂：4x+3y+5=0．
（1）求直線l₁與l₂的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若直線ax+2y-6=0與l₁、l₂可組成三角形，求實(shí)數(shù)a滿足的條件；
（3）設(shè)A（-1，-2），若直線l過點(diǎn)P，且點(diǎn)A到直線l的距離等于1，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程組，能求出l₁，l₂的交點(diǎn)．
（2）（ i）當(dāng)直線ax+2y-6=0過l₁與l₂的交點(diǎn)P時(shí)，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)直線ax+2y-6=0分別與l₁、l₂時(shí)，不能構(gòu)成三角形，由此能求出結(jié)果．
（3）若所求直線斜率存在，設(shè)所求的直線方程為y-1=k（x+2），由所求的直線與點(diǎn)A（-1，-2）的距離為1，利用點(diǎn)到直線距離公式求出$k=-\frac{4}{3}$，從而求出直線l的方程；若所求直線斜率不存在時(shí)，即l為x+2=0，滿足題意．由此能求出直線l的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ 4x+3y+5=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=1\end{array}\right.$…（2分）
∴l(xiāng)₁，l₂的交點(diǎn)為P（-2，1）．…（3分）
（2）（ i）當(dāng)直線ax+2y-6=0過l₁與l₂的交點(diǎn)P時(shí)，不能構(gòu)成三角形，
∴a•（-2）+2×1-6≠0，解得a≠-2，…（5分）
（ ii）當(dāng)直線ax+2y-6=0分別與l₁、l₂時(shí)，不能構(gòu)成三角形，
∴$a≠-1，且a≠\frac{8}{3}$
綜上所述：$a≠-2，且a≠-1，且a≠\frac{8}{3}$．…（9分）
（3）若所求直線斜率存在，
設(shè)所求的直線方程為y-1=k（x+2），即kx-y+（2k+1）=0
∵所求的直線與點(diǎn)A（-1，-2）的距離為1，$\frac{{|{-k+2+2k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，得$k=-\frac{4}{3}$…（11分）
即所求的直線l的方程為4x+3y+5=0…（12分）
若所求直線斜率不存在時(shí)，即l為x+2=0，
∵點(diǎn)A（-1，-2）到直線l為x+2=0的距離為1，
∴直線x+2=0也滿足題意．…（15分）
故所求的直線l的方程為4x+3y+5=0，或x+2=0．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查實(shí)數(shù)滿足的條件的求法，考查直線方程的求法，涉及到直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．