Question

11．已知該球的直徑SC=8，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2$\sqrt{3}$，∠SCA=∠SCB=60°，則球心O到平面ABC的距離為（　�。�

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． $\frac{24\sqrt{13}}{13}$
• C． $\frac{12\sqrt{13}}{13}$
• D． 8$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 畫出圖形，利用已知條件求出AC，BC，利用等體積方法，求解球心O到平面ABC的距離．

解答 解：如圖：球的直徑SC=8，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2$\sqrt{3}$，∠SCA=∠SCB=60°，半徑為4，
可得AC=BC=4，AD=BD=2$\sqrt{3}$，
球心O到平面ABC的距離為h，E為AB的中點(diǎn)，CE=$\sqrt{{4}^{2}-{（\sqrt{3}）}^{2}}$，
DE=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3．
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{{4}^{2}-（{\sqrt{3}）}^{2}}$=$\sqrt{39}$．
過AB的小圓的圓心為D．
${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3$=3$\sqrt{3}$，
V_O-ABC=$\frac{1}{3}{•S}_{△ABC}•h=\frac{1}{3}•{S}_{△ABD}•OC$，
化簡(jiǎn)可得$\sqrt{39}h=3×4\sqrt{3}$，解得h=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的空間想象力，等體積法的應(yīng)用，開學(xué)轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．屬于中檔題．