Question

15．已知拋物線C：x²=2py（p＞0），傾斜角為$\frac{π}{4}$且過點M（0，1）的直線l與C相交于A，B兩點，且$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）拋物線C上一動點N，記以MN為直徑的圓的面積為S，求S的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的方程為y=x+1，與拋物線C：x²=2py聯(lián)立，利用韋達定理，結合向量知識，求出p，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）MN最小時，以MN為直徑的圓的面積最�。�

解答 解：（Ⅰ）直線l的方程為y=x+1，與拋物線C：x²=2py聯(lián)立，可得x²-2px-2p=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2p①，x₁x₂=-2p②，
∵$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，
∴（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），
∴x₁=-2x₂，③
由①②③可得p=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線C的方程x²=$\frac{1}{2}$y；
（Ⅱ）MN最小時，以MN為直徑的圓的面積最小．
設N（x，y），則|MN|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=$\sqrt{（y+\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{16}}$，
∴y=0時，MN最小為$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴S的最小值為$π•（\frac{\sqrt{15}}{8}）^{2}$=$\frac{15}{64}$π．

點評 本題考查拋物線的方程，考察向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．