Question

如圖，過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的動點M引圓O：x²+y²=b²的兩條切線MA與MB，其中A，B分別為切點，若橢圓上存在點M，使四邊形OAMB為正方形，則該橢 圓離心率的范圍為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：首先，由∠AMB=90°及圓的性質，可得|OM|=

2

b，然后，得到|OM|²=2b²≤a²，從而得到離心率的取值范圍．

解答： 解：∵∠AMB=90°，
∴|OM|=

2

b，即|OM|²=2b²≤a²，
∴a²≤2c²，
∴e²≥

1

2

，
∴e≥

2

2

，
∵e＜1，
∴e∈[

2

2

，1）．
故答案為：[

2

2

，1)．

點評：本題考查直線和橢圓的位置關系和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件．在求離心率時關鍵是從題目條件中找到關于a，b，c的兩個方程或從題目中得到的圖形中找到a，b，c的關系式，從而求離心率或離心率的取值范圍．在處理直線與圓錐曲線的關系類問題時，一般方法及思路一般有：①聯立方程；②設而不求；③韋達定理；④弦長公式等．