Question

16．已知雙曲線H：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（m＞0）的右焦點到直線l：4x-3y-18=0的距離為2，且雙曲線的實軸長小于4，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線l交于點A（n，-2），直線l₁：x=$\sqrt{3}$被橢圓E截得的弦長為4$\sqrt{2}$．
（1）求雙曲線H的標準方程和漸近線方程；
（2）求橢圓E的標準方程和焦點坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點到直線的距離公式求出雙曲線的右焦點坐標，利用實軸長進行檢驗，從而得出雙曲線的標準方程和漸近線方程；
（2）求出A點坐標，利用橢圓的對稱性得出橢圓與直線l₁的交點坐標，列方程組求出a²，b²，從而得出橢圓的標準方程和焦點坐標．

解答 解：（1）設雙曲線的右焦點為F（c，0）（c＞0），
則F到直線l的距離d=$\frac{|4c-18|}{\sqrt{16+9}}$=2，解得c=2或c=7．
∵雙曲線的實軸長小于4，即2m＜4，∴m＜2．
若c=2，則m=$\sqrt{{c}^{2}-3}$=1，符合題意；
若c=7，則m=$\sqrt{{c}^{2}-3}$=$\sqrt{46}$，不符合題意；
∴雙曲線H的標準方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x．
（2）把y=-2代入直線l的方程4x-3y-18=0得x=3，
∴A（3，-2），
又直線l₁：x=$\sqrt{3}$被橢圓E截得的弦長為4$\sqrt{2}$．
∴橢圓E經過點（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=1}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{8}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=15，b²=10，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$．
焦點坐標為（-$\sqrt{5}$，0），（$\sqrt{5}$，0）．

點評 本題考查了圓錐曲線的定義，性質，直線與圓錐曲線的位置關系，屬于中檔題．