Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的圖象關于原點成中心對稱．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）的圖象關于原點成中心對稱，知f（x）是奇函數(shù)，再由其定義利用待定系數(shù)法求解．
（2）由（1）得f（x）=x³-48x，因為是高次函數(shù)，所以選用導數(shù)法，先求，再分別由導數(shù)大于零和小于零求解

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象關于原點成中心對稱，則f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
得-ax³+（a-1）x²-48（a-2）x+b=-ax³-（a-1）x²-48（a-2）x-b，
于是2（a-1）x²+2b=0恒成立，
∴

a-1=0 b=0

，解得a=1，b=0；

（2）由（1）得f（x）=x³-48x，
∴f'（x）=3x²-48=3（x+4）（x-4），
令f′（x）=0，得x₁=-4，x₂=4，
令f′（x）＜0，得-4＜x＜4，令f′（x）＞0，得x＜-4或x＞4．
∴f（x）的遞減區(qū)間為[-4，4]，遞增區(qū)間為（-∞，-4）和（4，+∞），
∴f（x）_極大=f（-4）=128，f（x）_極小=f（4）=-128．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等方面的應用．