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已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，G為△ABC的重心，且滿足
AB
•
CG
=
BC
•
AG
．
（1）證明：a2，b2，c2成等差數(shù)列；
（2）求函數(shù)y=2
3
sin2B+sin(2B+
π
3
)的最大值．
分析：（1）由已知得
1
3
(
CB
-
CA
)•(
CB
+
CA
)=
1
3
(
AC
-
AB
)•(
AC
+
AB
)，由此能夠證明a2，b2，c2成等差數(shù)列．
（2）由2b2=a2+c2，得cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
1
2
(a2+c2)
2ac
≥
1
2
，由此能求出函數(shù)y=2
3
sin2B+sin(2B+
π
3
)的最大值．
解答：解：（1）證明：由已知得
1
3
(
CB
-
CA
)•(
CB
+
CA
)=
1
3
(
AC
-
AB
)•(
AC
+
AB
)--（7分）；
即a2，b2，c2成等差數(shù)列；--（8分）；
（2）、由（1）得2b2=a2+c2，
∴cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
1
2
(a2+c2)
2ac
≥
1
2

∴0＜B≤
π
3
，--（12分）；
又因為y=
3
-
3
cos2B+
1
2
sin2B+
3
2
cos2B=sin(2B-
π
3
)+
3

∴當B=
π
3
，y的最大值為
3
2
3
．--（16分）．
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，acosB+bcosA=csin（A-B），且a2+b2-
3
ab=c2，求角A的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，若ac=5，且
BA
•
BC
=
5
．
（1）求△ABC的面積大小及tanB的值；
（2）若函數(shù)f(x)=
2cos2
x
2
+2sin
x
2
cos
x
2
-1
cos(
π
4
+x)
，求f（B）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列說法中：①在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若該三角形有兩解，則x取值范圍是2＜x＜2
2
；②在△ABC中，若b=8，c=5，A=60°，則△ABC的外接圓半徑等于
14
3
3
；③在△ABC中，若c=5，
cosA
cosB
=
b
a
=
4
3
，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑為2；④在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC=9，則BC邊的中線AD=
7
2
；⑤設三角形ABC的BC邊上的高AD=BC，a、b、c分別表示角A、B、C對應的三邊，則
b
c
+
c
b
的取值范圍是[2，
5
]．其中正確說法的序號是
①④⑤
①④⑤
（注：把你認為是正確的序號都填上）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則cos2A+cos2C的取值范圍是
[
1
2
，
3
2
]
[
1
2
，
3
2
]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•江門一模）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a、b、c滿足（a+b）2-c2=6且C=60°，則△ABC的面積S=
3
2
3
2
．

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