Question

16．已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}，滿足a₁=1，b₁=2，a₄=b₂，a₈=b₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n為偶數(shù)\\{b_n}，n為奇數(shù)\end{array}$，求數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}的公比為q，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）由于偶數(shù)項(xiàng)是公差為2等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是公比為4等比數(shù)列，因此對(duì)數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n分組求和可得：T_2n=（2+2³+…+2^2n-1）+（2+4+…+2n），
再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵a₁=1，b₁=2，a₄=b₂，a₈=b₃．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+3d=2q}\\{1+7d=2{q}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=1}\\{q=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=1+（n-1）=n，b_n=2ⁿ．
（II）由于偶數(shù)項(xiàng)是公差為2等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是公比為4等比數(shù)列，因此對(duì)數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n分組求和可得：
T_2n=（2+2³+…+2^2n-1）+（2+4+…+2n）
=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{4-1}$+$\frac{n（2+2n）}{2}$
=$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$+n（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“分組求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．