Question

如圖,在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知M、N、Q分別為棱AB、BC、AA₁的中點(diǎn),P為MN與BD的交點(diǎn).給出如下幾個(gè)命題:

①∠BB₁P是直線BB₁與平面B₁MN所成的角;

②直線AC₁∥平面B₁MN;

③異面直線D₁Q與B₁N成90°角;

④若用與平面B₁MN平行的平面截此正方體,則截面圖形一定是三角形或四邊形.

則所有正確的命題的序號(hào)是_________________.

Answer 1

①③

解:①易證Rt△B₁BM≌Rt△B₁BN.推出B點(diǎn)到∠MB₁N兩邊距離相等,進(jìn)而可得到直線B₁B與∠MB₁N兩邊的夾角相等,所以B₁B在平面MB₁N上的射影必在∠MB₁N的平分線B₁P上.

所以∠BB₁P是直線BB₁與平面B₁MN所成的角.

②在平面B₁MN內(nèi)任作一條直線,都不能與AC₁平行.

③在平面C₁B上過(guò)C₁點(diǎn)作C₁Q₁D₁Q,易證C₁Q₁⊥B₁N.

④截面圖形有三角形、四邊形,還有六邊形.

綜上,所有正確命題的序號(hào)是①③.