Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=x²（lnx-a）+a，給出以下4個結(jié)論：
①?a＞0，?x＞0，f（x）≥0；
②?a＞0，?x＞0，f（x）≤0；
③?a＞0，?x＞0，f（x）≥0；
④?a＞0，?x＞0，f（x）≤0．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,全稱命題,特稱命題

專題：簡易邏輯

分析：①令a=

1

2

，進行驗證即可；
②令a=5，通過驗證結(jié)論成立；
③當(dāng)a=5時，舉反例x=5時，不滿足條件；
④求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)存在極值進行判斷．

解答： 解：①當(dāng)a=

1

2

，則f（x）=x²（lnx-

1

2

）+

1

2

，函數(shù)的定義域為（0，+∞），
此時函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x（lnx-

1

2

）+x²•

1

x

=2xlnx-x+x=2xlnx，
由f′（x）=0得，x=1，則當(dāng)x＞1時，則f′（x）＞0，此時函數(shù)遞增，
當(dāng)0＜x＜1時，則f′（x）＜0，此時函數(shù)遞減，故當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值同時也是最小值f（1）=-

1

2

+

1

2

=0，
則對?x＞0，f（x）≥f（1）=0；故①正確，
②當(dāng)a=5，則f（x）=x²（lnx-5）+5，則f（e）=e²（lne-5）+5=-4e²+5＜0，故②?a＞0，?x＞0，f（x）≤0，成立．
③由②知當(dāng)a=5時，?x=e，滿足e＞0，但f（e）＜0，故③?a＞0，?x＞0，f（x）≥0不成立，故③錯誤．
④函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x（lnx-a）+x²•

1

x

=2x（lnx-a）+x=x（2lnx-2a+1）=2x（lnx+

1

2

-a）．
由f′（x）=0，則lnx+

1

2

-a=0，即lnx=a-

1

2

，
即?a＞0，函數(shù)f（x）都存在極值點，即?x＞0，f（x）≤0成立，故④正確，
綜上正確是有①②④，
故選：D

點評：本題主要考查命題的真假判斷，利用特殊值法和排除法是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．