Question

10．已知函數(shù)f（x）=x-mln（1+x）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，不等式ax²≤f（x）對(duì)?x∈[0，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題等價(jià)于ax²-x+ln（1+x）≤0在[0，1]恒成立，令g（x）=ax²-x+ln（1+x），通過(guò)討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{m}{1+x}$=$\frac{x+（1-m）}{1+x}$，
①若m≤0，則f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增；
②若m＞0，則f（x）在（-1，m-1）遞減，在（m-1，+∞）遞增；
（2）f′（1）=$\frac{2-m}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得：m=1，
∴f（x）=x-ln（1+x），
不等式ax²≤f（x）對(duì)?x∈[0，1]恒成立，
等價(jià)于ax²-x+ln（1+x）≤0在[0，1]恒成立，
令g（x）=ax²-x+ln（1+x），
則g′（x）=$\frac{x（2ax+2a-1）}{1+x}$，
①a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）≥0在[0，1]恒成立，
∴g（x）_max=g（1）=a-1+ln2≤0，解得：a≤1-ln2＜0，不合題意，舍；
②$\frac{1}{4}$≤a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）在[0，$\frac{1}{2a}$-1）遞減，在（$\frac{1}{2a}$-1，1]遞增，
∴g（x）_max=g（0）或g（1），
而g（0）=0，g（1）=a-1+ln2≤0，解得：$\frac{1}{4}$≤a≤1-ln2；
③a＜$\frac{1}{4}$時(shí)，g（x）在[0，1]遞減，
g（x）_max=g（0）=0，符合題意，
綜上：a≤1-ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，本題有一定的難度．