Question

11．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，以F₁F₂為邊作正△MF₁F₂，若雙曲線恰好平分該三角形的另兩邊，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可推斷出三角形的頂點(diǎn)在y軸，根據(jù)正三角形的性質(zhì)求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得正三角形的邊與雙曲線的交點(diǎn)，代入雙曲線方程與b²=c²-a²聯(lián)立整理求得e．

解答 解：雙曲線恰好平分正三角形的另兩邊，
頂點(diǎn)就在Y軸上坐標(biāo)是（0，$\sqrt{3}$c）或（0，-$\sqrt{3}$c）
那么正三角形的邊與雙曲線的交點(diǎn)就是邊的中點(diǎn)（$\frac{1}{2}c$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c）
在雙曲線上代入方程$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}$=1
聯(lián)立b²=c²-a²求得e⁴-8e²+4=0
求得e=$\sqrt{3}$+1 
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)的綜合把握．