Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n＞0（n∈N），其前n項(xiàng)和為S_n，且S₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．   （2）若b_n=log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥3時(shí)，有：a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，得a_n=2a_n-1．故該數(shù)列從第2項(xiàng)起為公比q=2的等比數(shù)列，取n=1和2，得到首項(xiàng)a₁和第二項(xiàng)a₂，最后綜合可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）對(duì)a_n的各項(xiàng)取以2為底的對(duì)數(shù)，得到b_n的表達(dá)式從第二期起成等差數(shù)列，再用等差數(shù)列求和的公式即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；
當(dāng)n=2時(shí)，有a₁+a₂=2a₂，得a₂=2；
當(dāng)n≥3時(shí)，有：a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
得a_n=2a_n-1．
故該數(shù)列從第2項(xiàng)起為公比q=2的等比數(shù)列，
故an=

2，( n=1 ) 2n-1  ( n≥2  n∈N ).

（2）由（1）知    bn=

1        ( n=1 ) n-1    ( n≥2  n∈N ).

故數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和 Tn=

1      ，( n=1 ) n(n-1) 2 +1    ( n≥2 n∈N )

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．注意：各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，取了對(duì)數(shù)之后變成一個(gè)等差數(shù)列．