Question

已知向量

m

=（e^x，lnx+k），

n

=（1，f（x）），

m

∥

n

，（k為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（x））處的切線與y軸垂直，F(xiàn)（x）=xe^xf′（x）．
（Ⅰ）求k的值及F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=lnx-ax（a＞0），若對(duì)于任意x₂∈（0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算得到函數(shù)f（x）的解析式，求導(dǎo)后由在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值等于0得到k的值，再對(duì)F（x）=xe^xf′（x）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）把對(duì)于任意x₂∈（0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁）轉(zhuǎn)化為g_max（x）＜F_max（x），由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的最大值，結(jié)合（Ⅰ）求得F（x）的最大值，解不等式得到a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（e^x，lnx+k），

n

=（1，f（x））且

m

∥

n

，
則e^xf（x）=lnx+k，∴f（x）=

lnx+k

ex

，
∴f′(x)=

1 x -lnx-k

ex

，
由已知f′(1)=

1-k

e

=0，∴k=1．
∴F(x)=xexf′(x)=x(

1

x

-lnx-1)=1-xlnx-x．
∴F′（x）=-lnx-2．
由F′（x）=-lnx-2≥0，解得：0＜x≤

1

e2

．
由F′（x）=-lnx-2≤0，解得x≥

1

e2

．
∴F（x）的增區(qū)間為（0，

1

e2

]，減區(qū)間為[

1

e2

，+∞）；
（Ⅱ）∵對(duì)于任意x₂∈（0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），
∴g_max（x）＜F_max（x）．
由（Ⅰ）知，當(dāng)x=

1

e2

時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值F（

1

e2

）=1+

1

e2

．
對(duì)于g（x）=lnx-ax，g′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，
當(dāng)x∈(0，

1

a

)時(shí)，g′（x）＞0，g（x）=lnx-ax為增函數(shù)，
當(dāng)x∈(

1

a

，+∞)時(shí)，g′（x）＜0，g（x）=lnx-ax為減函數(shù)，
若

1

a

≥1，函數(shù)g（x）在（0，1]上的最大值為g（1）=-a，
由-a＜1+

1

e2

，得a＞-1-

1

e2

，則0＜a≤1；
若0＜

1

a

＜1，∴gmax(x)=g(

1

a

)=-lna-1＜1+

1

e2

，
解得：a＞1．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了向量共性的坐標(biāo)表示，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是對(duì)問題（Ⅱ）的轉(zhuǎn)化，是高考試卷中的壓軸題．