Question

若方程x=-b+

1-(x-1)2

恰有一個實根，則b的取值范圍為（　�。�

• A、-2≤b≤0
• B、-1-

  2

  ≤b≤-1+

  2

• C、-2≤b＜0或b=-1+

  2

• D、0＜b≤-1+

  2

Answer 1

分析：依題意，x+b=

1-(x-1)2

，構造函數y=x+b與y=

1-(x-1)2

，在同一坐標系里作出它們的圖象即可求得答案．

解答：解：∵x=-b+

1-(x-1)2

，
∴x+b=

1-(x-1)2

，
令y=x+b與y=

1-(x-1)2

，在同一坐標系里作出它們的圖象如下：

由圖知，當直線y=x+b與方程為y=

1-(x-1)2

的上半圓相切或從直線y=x開始向右平移與該半圓相交時，兩曲線只有一個交點，即方程x=-b+

1-(x-1)2

只有一個實數根．
當直線y=x+b與方程為y=

1-(x-1)2

的上半圓相切時，圓心C（1，0）到直線y=x+b的距離d=

|1-0+b|

12+12

=

|1+b|

2

=1（b＞0），
解得b=

2

-1；
當直線y=x+b從直線y=x開始（不包括直線y=x）向右平移與該半圓相交時，兩曲線只有一個交點，y=x+b經過（2，0）時，b達到最小值-2，
∴-2≤b＜0；
綜上所述，b=

2

-1或-2≤b＜0．
故選：C．

點評：本題考查函數的零點，著重考查直線與圓的位置關系，突出考查點到直線間的距離，考查轉化思想、數形結合思想、分類討論思想的綜合應用，考查作圖能力，屬于中檔題．