Question

已知函數(shù)f（x）=

x2-3tx+18，x≤3 (t-13) x-3 ，x＞3

，記a_n=f（n）（n∈N^*），若{a_n}是遞減數(shù)列，則實數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：要使函數(shù)f（x）=x²-3tx+18在x≤3（x∈N^*）時單調(diào)遞減，則

5

2

＜

3t

2

，解得t；要使函數(shù)f（x）=(t-13)

x-3

在x＞3單調(diào)遞減，則必須滿足t-13＜0，解得t；又函數(shù)f（x）在x∈N^*時單調(diào)遞減，則f(3)=36-9t＞(t-13)•

3-3

，解得t．聯(lián)立解得即可．

解答：解：要使函數(shù)f（x）=x²-3tx+18在x≤3（x∈N^*）時單調(diào)遞減，則

5

2

＜

3t

2

，解得t＞

5

3

；
要使函數(shù)f（x）=(t-13)

x-3

在x＞3單調(diào)遞減，則必須滿足t-13＜0，解得t＜13．
又函數(shù)f（x）在x∈N^*時單調(diào)遞減，則f(3)=36-9t＞(t-13)•

3-3

，解得t＜4．
聯(lián)立

t＞ 5 3 t＜13 t＜4

，解得

5

3

＜t＜4．
故t的取值范圍是(

5

3

，4)．
故答案為：(

5

3

，4)．

點評：本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、一次函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．