Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若對(duì)于任意x∈[

1

2

，3]都有f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，滿足f（-x）=-f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到關(guān)于a，b的兩個(gè)等式，解方程組求出a，b的值．
（2）利用減函數(shù)的定義即可證明．
（3））f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，等價(jià)于f（kx²）＞-f（2x-1）=f（1-2x），即k＜

1-2x

x2

成立，設(shè)g（x）=

1-2x

x2

，
換元使之成為二次函數(shù)，再求最小值．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0⇒

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
f（x）=

-2x+1

2x+1+a

，又由f（1）=-f（-1）⇒

-2+1

4+a

=

- 1 2 +1

1+a

，解得a=2．
（2）證明：由（1）可得：f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

．
?x₁＜x₂，∴2x2＞2x1＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
∴f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，等價(jià)于f（kx²）＞-f（2x-1）=f（1-2x）成立，
∵f（x）在R上是減函數(shù)，∴kx²＜1-2x，
∴對(duì)于任意x∈[

1

2

，3]都有kx²＜1-2x成立，
∴對(duì)于任意x∈[

1

2

，3]都有k＜

1-2x

x2

，
設(shè)g（x）=

1-2x

x2

，
∴g（x）=

1-2x

x2

=(

1

x

)2-2(

1

x

)，
令t=

1

x

，t∈[

1

3

，2]，
則有g(t)=t2-2t，t∈[

1

3

，2]，∴g（x）_min=g（t）_min=g（1）=-1
∴k＜-1，即k的取值范圍為（-∞，-1）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，以及應(yīng)用性質(zhì)求參數(shù)的值，屬于函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．解決第二問的關(guān)鍵在于先得到函數(shù)的單調(diào)性．