Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+2（x＜0）}\\{\sqrt{x}（x≥0）}\end{array}\right.$，若對(duì)任意n∈N^*，f（f（f…f（a）））=a（n個(gè)f），則實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①假設(shè)f（a）=a，當(dāng)a≥0時(shí)，則$\sqrt{a}$=a，解得a=1或0；當(dāng)a＜0時(shí)，則a²+4a+2=a，解得a=-1或-2．
②假設(shè)f（f（a））=a，對(duì)a分類討論，以此類推即可得出．

解答 解：①假設(shè)f（a）=a，當(dāng)a≥0時(shí)，則$\sqrt{a}$=a，解得a=1或0；當(dāng)a＜0時(shí)，則a²+4a+2=a，解得a=-1或-2．
②假設(shè)f（f（a））=a，當(dāng)a≥0時(shí)，則f（a）=$\sqrt{a}$，f（f（a））=f（$\sqrt{a}$）=$\sqrt{\sqrt{a}}$，∴$\sqrt{\sqrt{a}}$=a，解得a=1或0；以此類推：當(dāng)a≥0時(shí)，a=1或0．
當(dāng)a＜0時(shí)，則f（a）=a²+4a+2，f（f（a））=（a²+4a+2）²+4（a²+4a+2）+2=a，∴a²+4a+2=a，解得a=-1或-2．以此類推：當(dāng)a＜0時(shí)，
a=-1或-2．
綜上可得：實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)是4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的解法、復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．