Question

（本小題滿分15分）

已知圓，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ) 若，求過點(diǎn)的圓的切線方程；

 (Ⅱ) 若，求過點(diǎn)的圓的兩切線與軸圍成的三角形面積的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）切線方程為或．

（Ⅱ）兩切線與軸圍成的三角形面積的最小值為32．

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解切線方程以及三角形面積的求解的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415232521936662/SYS201208241524094655378140_DA.files/image005.png">．當(dāng)點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為，即，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到k的值，得到結(jié)論。

 

（2）設(shè)切線，即，

切線與軸交點(diǎn)為，圓心到切線的距離為．

表示得到三角形的面積的公式，然后結(jié)合函數(shù)求解得到最值。

解：（Ⅰ）．

當(dāng)點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為，即．

圓心到切線的距離為，即．

所以，得或．

所以切線方程為或．………………………………………………6分

（Ⅱ）設(shè)切線，即，

切線與軸交點(diǎn)為，圓心到切線的距離為．

即，

化簡(jiǎn)得

設(shè)兩切線斜率分別為，則，

  ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

所以兩切線與軸圍成的三角形面積的最小值為32．………………………………15分