Question

已知函數(shù)f(x)=(x-a)²(x-b)(a，b∈R，a＜b)，
(Ⅰ)當a=1，b=2時，求曲線y=f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；
(Ⅱ)設x₁，x₂是f(x)的兩個極值點，x₃是f(x)的一個零點，且x₃≠x₁，x₃≠x₂，證明：存在實數(shù)x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某種順序排列后構成等差數(shù)列，并求x₄。

Answer 1

解：(Ⅰ)當a=1，b=2時，因為f′(x)=（x-1）（3x-5），
故f′(2)=1，
又f(2)=0，
所以f(x)在點(2，0)處的切線方程為y=x-2．
(Ⅱ)證明：因為，
由于a＜b，故，
所以f（x）的兩個極值點為，
不妨設，
因為x₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f(x)的零點，故x₃=6，
又因為，，
此時依次成等差數(shù)列，
所以存在實數(shù)x₄滿足題意，且。