Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+a是奇函數(shù)．（1）求常數(shù)a的值；（2）判斷f（x）的單調(diào)性并給出證明．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+a是奇函數(shù)，可得方程f（x）+f（-x）=0代入函數(shù)解析式，由此方程求出a的值；
（2）由（1）函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+

1

2

，由解析式形式知f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（-∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)，由定義證明即可

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+a是奇函數(shù)，可得f（x）+f（-x）=0
∴

1

2x-1

+a+

1

2-x-1

+a=0，解得a=

1

2

∴函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+

1

2

（2）由（1）得f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（-∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)，證明如下
任取x₁＜x₂則
f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1-1

-

1

2x2-1

=

2x2-2x1

(2x1-1)(2x2-1)

當(dāng)x₁，x₂∈（0，+∞）時(shí)，2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2-2x2＞0，所以

2x2-2x1

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
有f（x₁）-f（x₂）＞0
當(dāng)x₁，x₂∈（-∞，0）時(shí)，2x1-1＜0，2x2-1＜0，2x2-2x1＞0，所以

2x2-2x1

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
有f（x₁）-f（x₂）＞0
 綜上知，
f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（-∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性的證明方法定義法，解題的關(guān)鍵是理解奇函數(shù)的定義及單調(diào)性的證明方法，本題的重點(diǎn)是單調(diào)性的證明，其中判斷符號(hào)是難點(diǎn)