Question

4．{a_n}是無(wú)窮數(shù)列，若{a_n}是二項(xiàng)式（1+2x）ⁿ（n∈N⁺）展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和，則$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先利用二項(xiàng)式定理求得a_n=3ⁿ，再利用無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，求得結(jié)果．

解答 解：若{a_n}是二項(xiàng)式（1+2x）ⁿ（n∈N⁺）展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和，則a_n=3ⁿ，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，數(shù)列的極限，屬于基礎(chǔ)題．