Question

已知α、β為關(guān)于x的方程x²-tx-1=0(t∈R)的兩個(gè)根,且α＞β.函數(shù)f(x)= .

(1)求的值;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(結(jié)果可用含α、β的區(qū)間表示);

(3)對(duì)任意的λ＞0,證明f()-f()＜α-β.

Answer 1

(1)解:由題意,α、β為關(guān)于x的方程x²-tx-1=0的兩個(gè)根,則由韋達(dá)定理,得α+β=t,αβ=-1.

f(α)==-β,

同理f(β)=-α,=1.

(2)解:f′(x)=,

當(dāng)β＜x＜α?xí)r,f′(x)＞0;

當(dāng)x＜β或x＞α?xí)r,f′(x)＜0.

因此,函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間為(β,α),減區(qū)間為(-∞,β),(α,+∞).

(3)證明:∵λ＞0,α＞β,

∴-β=＞0,

α＞0,

∴β＜＜α,

同理β＜＜α.

因此f(β)＜f(),f()＜f(α),

從而f()+f(α)＞f()+f(β),

即f()-f()＜f(α)-f(β).

又f(α)-f(β)=α-β,

∴f()-f()＜α-β.