Question

已知x，y∈R⁺，且x+y=1，求證：xy+

1

xy

≥

17

4

．

Answer 1

分析：先根據(jù)基本不等式求出xy的范圍，再結(jié)合整體思想構(gòu)造一個新函數(shù)f（t）=t+

1

t

，利用函數(shù)f（t）=t+

1

t

，的單調(diào)性即可證明．

解答：解：∵xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

，
設(shè)xy=t，令f（t）=t+

1

t

，
因其f′（t）=1-

1

t2

，當(dāng)0＜t≤

1

4

時，f′（t）＜0，
故函數(shù)f（t）在（0，

1

4

]上是減函數(shù)，
∴t+

1

t

≥

1

4

+4=

17

4

，
從而：xy+

1

xy

≥

17

4

．

點評：本題主要考查了基本不等式、不等式的證明，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、，屬于中檔題．