Question

16．已知函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{{x^2}-2ax+3}）$．
（1）若f（x）定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在a∈R，使f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，若存在，求出a的取值范圍；不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，真數(shù)大于0，即可求出a的范圍．
（2）f（x）的值域?yàn)镽，也可以說u（x）=x²-2ax+3取遍一切正數(shù)，問題得以解決．
（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出u（x）在（-∞，2）遞減，且u（x）_min＞0，從而得出不存在a使f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增．

解答 解：令u（x）=x²-2ax+3，
（1）f（x）定義域?yàn)镽，則u（x）＞0恒成立，$⇒△＜0⇒-\sqrt{3}＜a＜\sqrt{3}$，
（2）f（x）值域?yàn)镽，則u（x）能取遍（0，+∞）的所有實(shí)數(shù)，$⇒△≥0⇒a≤-\sqrt{3}$或$a≥\sqrt{3}$，
（3）f（x）在（-∞，2）上遞增，則u（x）在（-∞，2）遞減，且u（x）_min＞0$⇒\left\{{\begin{array}{l}{a≥2}\\{u{{（x）}_{min}}＞u（2）≥0}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≤\frac{7}{4}}\end{array}⇒a∈∅}\right.}\right.$，所以不存在這樣的實(shí)數(shù)a．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和二次函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題．