Question

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A（-1，1）和B（-2，-2），且圓心在直線l：x+y-1=0上．
（1）求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線kx-y+5=0被圓C所截得的弦長為8，求k的值；
（3）設(shè)點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線l：x-y+5=0上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，利用圓經(jīng)過點(diǎn)A（-1，1）和B（-2，-2），且圓心在直線l：x+y-1=0上，建立方程組，求出a，b，r，即可得出圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)直線kx-y+5=0被圓C所截得的弦長為8，求出圓心C到直線kx-y+5=0的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式，建立方程，即可求k的值；
（3）求出圓心C到直線x-y+5=0的距離，即可求|PQ|的最小值．

解答： 解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，則
∵圓經(jīng)過點(diǎn)A（-1，1）和B（-2，-2），且圓心在直線l：x+y-1=0上，
∴

(-1-a)2+(1-b)2=r2 (-2-a)2+(-2-b)2=r2 a+b-1=0

，
∴a=3，b=-2，r=5，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）²+（y+2）²=25；
（2）由條件可知：圓心C到直線kx-y+5=0的距離為d=

52-42

=3．…（8分）
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得

|3k+2+5|

k2+1

=3，…（10分）
解得：k=-

20

21

．…（11分）
（3）∵圓心C到直線x-y+5=0的距離為d=

|3+2+5|

2

=5

2

＞5，…（12分）
∴直線與圓C相離，
∴|PQ|的最小值為d-r=5

2

-5…（14分）

點(diǎn)評：待定系數(shù)法是求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的重要方法，直線與圓的位置關(guān)系問題通常利用垂徑定理解決．