Question

1．若實數x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-4≤0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，則$\frac{xy}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{3}{11}$，$\frac{1}{3}$]
• B． [$\frac{3}{11}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]
• D． [3，$\frac{11}{3}$]

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，化簡目標函數，求出直線的斜率的范圍，利用函數的最值求解目標函數的范圍即可．

解答 解：實數x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-4≤0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$可行域如圖：
$\frac{y}{x}$的幾何意義是可行域內的點與坐標原點連線的斜率，
可得$\frac{y}{x}$∈[1，3]．
$\frac{xy}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}}$，
令t=$\frac{y}{x}$，g（t）=$\frac{2}{t}+t$，t∈[1，3]，g（t）∈[2$\sqrt{2}$，$\frac{11}{3}$]，
$\frac{xy}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}}$∈[$\frac{3}{11}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．
故選：B．

點評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，確定目標函數的幾何意義，求解范圍是解題的關鍵．