Question

已知圓x²+y²+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OP⊥OQ，求實(shí)數(shù)m的值.

Answer 1

【探究】  (1)設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為(x₁,y₁)、(x₂,y₂).

由OP⊥OQ得      k_OP·k_OQ=-1

即.x₁x₂+y₁y₂=0.                          ①

又(x₁,y₂)，(x₂,y₂)是方程組的實(shí)數(shù)解即x₁、x₂是方程5x²+10x+4m-27=0的兩個(gè)根.                                          ②

∴ x₁+x₂=-2,x₁x₂=.                           ③

∵ P、Q在直線x+2y-3=0上，

∴ y₁y₂=(3-x₁)·(3-x₂)=［9-3(x₁+x₂)+x₁x₂］.

將③代入，得    y₁y₂=.                       ④

將③④代入①，解得m=3，代入方程②，檢驗(yàn)Δ＞0成立，∴m=3.

(2)由直線方程可得3=x+2y，代入圓的方程x²+y²+x-6y+m=0，有x²+y²+(x+2y)(x-6y)+ (x+2y)²=0，整理得

(12+m)x²+4(m-3)xy+(4m-27)y²=0.

由于x≠0，故可得(4m-27)()²+4(m-3)+12+m=0.

∴ k_OP,k_OQ是上述方程兩根.

由k_OP·k_OQ=-1，得，解得m=3.

經(jīng)檢驗(yàn)可知m=3為所求.

【規(guī)律總結(jié)】 求解本題時(shí)，應(yīng)避免去求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)的具體數(shù)值.除此之外，還應(yīng)對(duì)求出的m值進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，這是因?yàn)樵谇蠼膺^程中并沒有確保有交點(diǎn)P、Q存在.

(1)顯示了一種解這類題的通法，(2)的關(guān)鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于的二元齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時(shí)也可看出，這種方法給人以一種酣暢淋漓，一氣呵成的感覺.