Question

如圖，在三棱錐A－BOC中，AO⊥平面BOC，AC＝4，AB＝2，BC＝4，∠CAO＝30°，D為AB上的任意一點(diǎn)，且BE⊥OD．

求證：BE⊥平面COD．

Answer 1

答案：
解析：

證明：因?yàn)锳O⊥平面BOC， 　　所以AO⊥OC，AO⊥OB． 　　在Rt△AOC中，AC＝4，∠CAO＝30°， 　　所以O(shè)C＝AC＝2，AO＝AC·cos30°＝2． 　　又在Rt△AOB中，AB＝2， 　　所以O(shè)B＝＝2． 　　在△BOC中，BC＝4，OC＝2，OB＝2． 　　所以O(shè)C2＋OB2＝BC2， 　　所以O(shè)C⊥OB． 　　因?yàn)锳O⊥OC，且AO∩OB＝O， 　　所以O(shè)C⊥平面AOB． 　　又OC平面COD， 　　所以平面COD⊥平面AOB． 　　又平面COD∩平面AOB＝OD，BE⊥OD，BE平面AOB， 　　所以BE⊥平面COD． 　　點(diǎn)評(píng)：通過計(jì)算來證明空間中的垂直關(guān)系，主要用于條件中已知線段和角，或條件中存在線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系，證明時(shí)主要是結(jié)合勾股定理．本題的證明過程體現(xiàn)了線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想．