Question

13．已知關于x的不等式ax²-3x+2＞0，a為實數(shù)．
（1）若不等式ax²-3x+2＞0的解集為{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；
（2）求不等式ax²-3x+2＞5-ax的解．

Answer 1

分析 （1）由不等式ax²-3x+2＞0的解集為{x|x＜1或x＞b}，可得a＞0，1，b是一元二次方程ax²-3x+2＞0的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關系即可得出．
（2）不等式ax²-3x+2＞5-ax化為ax²+（a-3）x-3＞0，即（ax-3）（x+1）＞0．對a分類討論：當a=0時；當a＞0或a＜-3時；當-3＜a＜0時，解出即可．

解答 解：（1）∵不等式ax²-3x+2＞0的解集為{x|x＜1或x＞b}，
∴a＞0，1，b是一元二次方程ax²-3x+2＞0的兩個實數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b=\frac{3}{a}}\\{1×b=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，a＞0，解得a=1，b=2．
∴a=1，b=2．
（2）不等式ax²-3x+2＞5-ax化為ax²+（a-3）x-3＞0，即（ax-3）（x+1）＞0．
當a=0時，化為x+1＜0，解得x＜-1，其解集為{x|x＜-1}；
當a＞0或a＜-3時，$\frac{3}{a}＞$-1，解得x＜-1或x$＞\frac{3}{a}$，其解集為{x|x＜-1或x$＞\frac{3}{a}$}；
當-3＜a＜0時，$\frac{3}{a}$＜-1，解得x＞-1或x$＜\frac{3}{a}$，其解集為{x|x＞-1或x$＜\frac{3}{a}$}．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法、分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．