Question

已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx，
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a＜0，對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為x²-ax-4≤0在x∈（0，1]時(shí)恒成立，而函數(shù)y=x-

4

x

在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，所以y=x-

4

x

的最大值為-3，從而求出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域（0，+∞），f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，此時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＞0解得x＞a；由f'（x）＜0解得0＜x＜a，
此時(shí)，函數(shù)f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)；f（x）在（0，a）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，
又函數(shù)y=

1

x

在（0，1]上是減函數(shù)，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂≤1，
則|f(x1)-f(x2)|=f(x2)-f(x1)，|

1

x1

-

1

x2

|=

1

x1

-

1

x2

，
所以|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|等價(jià)于f(x2)-f(x1)＜

4

x1

-

4

x2

，
即f(x2)+

4

x2

＜f(x1)+

4

x1

．
設(shè)h(x)=f(x)+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，
則|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|等價(jià)于函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)．
于是h′(x)=1-

a

x

-

4

x2

=

x2-ax-4

x2

≤0即x²-ax-4≤0在x∈（0，1]時(shí)恒成立，
從而a≥x-

4

x

在x∈（0，1]上恒成立，
而函數(shù)y=x-

4

x

在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，所以y=x-

4

x

的最大值為-3．
于是a≥-3，又a＜0，所以a∈[-3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．