Question

16．已知函數(shù)$f（x）=2sin（wx+φ+\frac{π}{3}）+1（|φ|＜\frac{π}{2}，w＞0）$是偶函數(shù)，且函數(shù)f（x）兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求$f（\frac{π}{8}）$的值．
（2）當(dāng)x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）時(shí)，求方程f（x）=$\frac{5}{4}$的實(shí)數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換和性質(zhì)可知周期T=π，φ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，從而得出f（x）的解析式，代入計(jì)算即可；
（2）求出f（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上的對(duì)稱軸，利用函數(shù)的對(duì)稱性得出所有根之和．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{3}$）+1是偶函數(shù)，
∴φ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，即φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$．
∵函數(shù)f（x）兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{?}$=π，∴ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，
∴f（$\frac{π}{8}$）=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．
（2）令2x=kπ得x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴f（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上有兩個(gè)周期，三條對(duì)稱軸x=0，x=$\frac{π}{2}$，x=π，
∴f（x）=$\frac{5}{4}$在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上有4解，不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
則x₁+x₂=0，x₃+x₄=2π，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=2π，即方程f（x）=$\frac{5}{4}$的實(shí)數(shù)根之和為2π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)計(jì)算，屬于中檔題．