Question

9．若圓C：x²+y²-2x-4y+m=0與直線x+2y-4=0相交于M、N兩點，且|MN|=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
（1）求m的值；
（2）是否存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，若存在，求出c的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點到直線的距離可得：圓心（1，2）到直線l的距離d，利用$（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{1}{\sqrt{5}}）^{2}$=5-m，即可解得m．
（2）如圖所示，圓心（1，2）到直線l的距離d=$\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}$，假設存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，必須滿足1-$\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}$＞$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解出即可．

解答 解：（1）由方程C：x²+y²-2x-4y+m=0變?yōu)椋▁-1）²+（y-2）²=5-m．
圓心（1，2）到直線l的距離d=$\frac{|1+4-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵弦長|MN|=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
∴$（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{1}{\sqrt{5}}）^{2}$=5-m，解得m=4．
故m=4．
（2）如圖所示，圓心（1，2）到直線l的距離d=$\frac{|1-4+c|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}$，
假設存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
必須1-$\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}$＞$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得4-$\sqrt{5}$＜c＜2+$\sqrt{5}$．
因此存在c∈（4-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$），滿足條件．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系、弦長公式、勾股定理等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．