Question

（2013•閔行區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=

cos πx 2 ，-1≤x≤1 x2-1，|x|＞1

，則關(guān)于x的方程f²（x）-3f（x）+2=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)是

5

．

Answer 1

分析：方程f²（x）-3f（x）+2=0等價(jià)于f（x）=2或f（x）=1，再利用函數(shù)f(x)=

cos πx 2 ，-1≤x≤1 x2-1，|x|＞1

分類(lèi)討論，即可得到方程f²（x）-3f（x）+2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)．

解答：解：方程f²（x）-3f（x）+2=0等價(jià)于f（x）=2或f（x）=1
∵函數(shù)f(x)=

cos πx 2 ，-1≤x≤1 x2-1，|x|＞1

，∴-1≤x≤1，f（x）∈[-1，1]，|x|＞1時(shí)，f（1）＞0，
∴f（x）=1時(shí)，cos

π

2

x=1或x²-1=1，∴x=0或x=±

2

，
f（x）=2時(shí)，x²-1=2，∴x=±

3

，
綜上知方程f²（x）-3f（x）+2=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)是5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的個(gè)數(shù)的判斷，考查分段函數(shù)，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．