Question

求證:aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a+1整除，n∈N^*.

Answer 1

思路解析：證明整除性問(wèn)題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，湊出n=k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題獲證.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立.

（2）設(shè)n=k時(shí)，aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a+1整除，則

    當(dāng)n=k+1時(shí)，a^k+2+(a+1)^2k+1=a·a^k+1+(a+1)²(a+1)^2k-1

=a［a^k+1+(a+1)^2k-1］+(a+1)²(a+1)^2k-1-a(a+1)^2k-1

=a［a^k+1+(a+1)^2k-1］+(a²+a+1)(a+1)^2k-1，上式中的兩項(xiàng)都能被a²+a+1整除，故n=k+1時(shí)命題成立.