Question

已知E、F分別為棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁、B₁C₁的中點，則A₁到EF的距離為

3 2

4

a

．

Answer 1

分析：如圖所示，建立空間直角坐標系．則A₁（0，a，0），E(0，0，

a

2

)，F(

a

2

，0，0)，得到線段EF的中點M(

a

4

，0，

a

4

)．可證明

A1M

•

EF

=0，即|

A1M

|即為A₁到EF的距離．利用向量模的計算公式即可得出．

解答：解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
則A₁（0，a，0），E(0，0，

a

2

)，F(

a

2

，0，0)，
線段EF的中點M(

a

4

，0，

a

4

)．
∴

A1M

=(

a

4

，-a，

a

4

)，

EF

=(

a

2

，0，-

a

2

)．
∵

A1M

•

EF

=

a2

8

-

a2

8

=0．
∴

A1M

⊥

EF

，
∴|

A1M

|即為A₁到EF的距離．
∵|

A1M

|=

( a 4 )2+(-a)2+( a 4 )2

=

3 2

4

a．
∴點A₁到EF的距離為

3 2 a

4

．
故答案為

3 2 a

4

．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標系利用向量垂直得到點到直線的距離、向量模的計算公式、中點坐標公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．