Question

13．函數(shù)f（x）=Asin（ωx-φ）+m（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值為3，最小值為-1，其圖象兩條對稱軸之間的最短距離為$\frac{π}{2}$，且f（$\frac{π}{2}$）=1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x+$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{4}$）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A和m，由周期求出ω，由f（$\frac{π}{12}$）=1，結(jié)合φ∈（0，$\frac{π}{2}$），解得φ，可得函數(shù)的解析式．
（2）先求g（x），由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z即可解得單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由題意可得：A+m=3，-A+m=-1，
解得：A=2，m=1．
∵圖象兩條對稱軸之間的最短距離為$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=π，即$ω=\frac{2π}{π}=2$．
∵f（$\frac{π}{12}$）=1，
∴sin（$\frac{π}{6}$-φ）=0，又φ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴解得：φ=$\frac{π}{6}$．
故函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1…6分
（2）g（x）=f（x+$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{4}$）=2sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin2x-$\sqrt{3}$2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），…8分
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z即可解得單調(diào)遞減區(qū)間為：[k$π+\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{11π}{12}$]，k∈Z．…12分

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A和B，由周期求出ω，屬于基礎(chǔ)題．